C11  ベクトル



努力目標

  理解する




技術士試験の問題からは必要最小限の引用にとどめる。(問題)が記されている部分はその引用である。

問題および解答は日本技術士会のホームページより必要に応じて入手してください。

  技術士第一次試験の問題       技術士第一次試験の正答(答え)  



問題番号が赤字のものは、ボーナス問題


単位ベクトル

H28年 Ⅰ-3-3   H22年 Ⅰ-3-3

同じ問題

H28年 Ⅰ-3-3 と H22年 Ⅰ-3-3


C24  ベクトルの微分

H26年 Ⅰ-3-1   H25年 Ⅰ-3-6   H23年 Ⅰ-3-5

H22年 Ⅰ-3-2   H21年 Ⅰ-3-4   H20年 Ⅰ-3-5


全て同じ問題である


内積

H26年 Ⅰ-3-4



単位ベクトル



H28年 Ⅰ-3-3

(※ベクトルに分類していますが、本来は有限要素法に分類されるべき問題である)

H28年度問題 


正答: ② 

複雑そうに見えるが、実は簡単な問題である。掛算式を展開すれば答えに至る。

(解答)

なじみが薄いギリシャ文字なのでξ(クシー)→α、η(エータ)→βと書き直す。

題意より、α、βの関数N1、N2、N3、N4は、
  N1=1/4(1-α)(1-β)
  N2=1/4(1+α)(1-β)
  N3=1/4(1+α)(1+β)
  N4=1/4(1-α)(1+β)

[N1,N2,N3,N4]=a0+αa1+βa2+αβa3

a0、a1、a2、a3は定数項からなる行ベクトル
a0=1/4[1,1,1,1]

1/4を省略して表を作る。

定義より a0 αa1 βa2 αβa3
N1 1-αーβ+αβ 1 -1 -1 1
N2 1+αーβ-αβ 1 1 -1 -1
N3 1+α+β+αβ 1 1 1 1
N4 1-α+β-αβ 1 -1 1 -1
a1、a2、a3に強いてα、β、αβをつけている

従って、②が答えとなる。

確認計算をする。1/4を省略すると、

 [N1,N2,N3,N4]=[1-α-β+αβ,1+α-β-αβ,1+α+β+αβ,1-α+β-αβ]
 =a0+αa2+βa3+αβa4=[1,1,1,1]+α[-1,1,1,-1]+β[-1,-1,1,1]+αβ[1,-1,1,-1]
 =[1,1,1,1]+[-α,α,α,-α]+[-β,-β,β,β]+[αβ,-αβ,αβ,-αβ]

さらにダメ押し確認する。

 =[1-α-β+αβ,1+α-β-αβ,1+α+β+αβ,1-α+β-αβ]


(参考)

有限要素法の四角形アイソパラメトリック要素からの引用







ベクトルの微分



注意せねばならぬ点は、

 d sin(ax+b)/dx=a ×cos(ax+b)、d sin(ax+b)/dx=-a×sin(ax+b)



H26年 Ⅰ-3-1

H26年度問題 

正答: ② 

(解答)

① =(u,v)として与えられているから、たとえば①では =(x,y)
  従って、u=x、v=yである。

  ∂u/∂x+∂v/∂y=∂x/∂x+∂y/∂y=1+1=2

同様に

② 1-1=0
③ y+x
④ y-x
⑤ 2x-2y



H25年 Ⅰ-3-6

H25年度問題 

正答: ④

(解答)

 V=x+y、V=x
 rot=∂V/∂x-∂V/∂y=2x-1
 点(2,3)はx=2、y=3であるから
 rot=2x-1=3



H23年 Ⅰ-3-5

H23年度問題 

正答: ①

(解答)

 V=sin(x+y+z),V=cos(x+y+z)
 V=z
 div=∂V/∂x+dV/∂y+∂V/∂z

今、d sin(ax)/dx=a×cos(ax)、d cos(ax)/dx=-a×sin(ax)

従って、

 div=cos(x+y+z)-sin(x+y+z)+1

(x,y,z)=(2π,0,0)であるから

 =cos(2π)-sin(2π)+1
 =1+0+1
 =2



H22年 Ⅰ-3-2

H22年度問題  

正答: ④

(解答)

① 2x-2y
② y-x
③ 1+1=2
④ 1-1=0
⑤ y-x



H21年 Ⅰ-3-4

H21年度問題 

正答: ④

(解答)

 V=y、V=x+y
 rot=∂V/∂y-∂V/∂x=2y-1
 (x,y)=(3,2)であるから
 rot=3



H20年 Ⅰ-3-5

H20年度問題 

正答: ④

(解答)

 V=x、V=xy+yz+zx、V=z
 div=∂V/∂x+∂V/∂y+∂V/∂z
    =3x+x+z+1
 (x,y,z)=(2,1,1)であるから
 div=16



内積



H26年 1-3-4

H26年度問題 

正答: ①

知識を問う、知っていて当然という問題である。

(解答)

ずばり、内積の定義を知っているかを問う問題である。
 a=(a,b)、b=(b,b
 内積a・b=a+a


参考までに、別の表記として、
 内積a・b=|a||b|cos(θ)


(余談)

内積a・b=|a||b|cos(θ) が 内積a・b=a+a であることの証明






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