ユークリッドの互除法（Wikipedia）
2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。2 つの自然数 a, b (a ≧ b) について、a の b による剰余を r とすると、 a と b との最大公約数は b と r との最大公約数に等しいという性質が成り立つ。この性質を利用して、 b を r で割った剰余、 除数 r をその剰余で割った剰余、と剰余を求める計算を逐次繰り返すと、剰余が 0 になった時の除数が a と b との最大公約数となる。

直積集合

https://mathwords.net/tyokusekisyugou

集合 A と B の直積は、A×B という記号で表します。

例えば、A={1,2}、B={3,4,5} のとき、

A×B={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}

となります。

A の要素と B の要素を1つずつ取ってきて作ったペアを全て集めた集合です。

また、A={1,2}、B={1,2,3} のとき、

A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

となります。(1,2) と (2,1) は別の要素であることに注意してください（順序が違えば別物とみなす）。

集合と写像

　http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/set.html

2. 写像

集合 A の各元に対して，集合 B の元がただ１つ対応する規則 f が定まっているとき，この対応を A から B への写像といい，f: A → B で表す．

 例題 集合 A = {a, b, c, d} から集合 B = {0, 1} への写像を記述せよ．

 解答 写像 f: A → B は，0 と 1 からなる４個の数字の列 f(a)f(b)f(c)f(d) で表される．そのような列は以下の 16 個である．

 0000, 0001, 0010, 0010, 0011, 0100, 0101, 0111

 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111

 写像 f: A→ B が与えられたとき，B の部分集合 { f(a) | a ∈ A } を f による A の像といい，f(A) で表す．とくに，B = f(A), すなわち，B のすべての元が f の像になるとき，f は全射であるという．

 また，写像 f が１対１写像，すなわち，f(a) = f(a') となるのは a = a' の場合に限るとき，f は単射であるという．全射であると同時に単射でもある写像を全単射写像という．

 以上より、問題を解答していくと、

まず直積集合　A×Bは

A×B＝{（ａα）（ａβ）（ｂα）（ｂβ）（ｃα）（ｃβ）（ｄα）（ｄβ）}

 写像は８個の字数で表される０と１の組み合わせの数だけあるので、２^８＝256個がその総数となる。






３群　解析に関するもの

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Ⅰ－３－１　３階微分とその係数　



解答：⑤

問題文より
　ｙ’＝１＋ｙ^２　　　　　ｙ＝１

この両辺を微分すると、
　ｙ’’＝２ｙｙ’

さらに微分すると
　ｙ’’’＝２ｙ’^２＋２ｙｙ’’

少し見づらいので、ｙ＝ａ、ｙ’＝ｂ、ｙ’’＝ｃ、ｙ’’’＝ｄ　とすると

　ｂ＝１＋ａ^２
　ｃ＝２ａｂ
　ｄ＝２ｂ^２＋２ａｃ

まず求めたいのはｙ’’（すなわちｃ）の値である。
　ｃ＝２ａｂ＝２ａ（１＋ａ^２）
　ａ＝１（ｙ＝１）であるから、ｃ＝４　　（ｙ’’＝４）

次に求めたいのはｙ’’’（すなわちｄ）の値である。
ｙ’’’（ｄ）をａ（すなわちｙ）で表される式に変形する。
　ｄ＝２（１＋ａ^２）^２＋２ａ（２ａ（１＋ａ^２））
ａ＝１（ｙ＝１）であるから、ｙ’’’＝８＋８＝１６となる。


※　補足説明　なぜ、y''=2yy' となるのか。
　たとえば　y=ab（aとbは共にxの関数）を考える。
　これをｘで微分すれば、
　dy/dx=(da/dx)×b+a×(db/dx)
　同じく、y'=1+y²の両辺をxで微分すれば、
　d²y/dx²=(dy/dx)×y+y×(dy/dx)=2×y×(dy/dx)
　すなわち、y''=2yy' となる。
　続く微分も考え方は同じである。




Ⅰ－３－２　定点から垂直に降ろされる平面上の点　

解答：②

定理に従ってこの問題を解く。

定理

　平面上の点B（a,b,c）を通り、ベクトルq=(q₁,q₂,q₃)に垂直な平面の方程式は
　　　q₁(x-a)+q₂(y-b)+q₃(z-c)=0
　である。

解答候補の平面S上の点Bと、空間上の点Aよりベクトルｑを求める。

問題文で与えられた平面Sの方程式は、ｘ＋２ｙ－ｚ＝０　であるから、ベクトルｑは②の（2,4,-2）か⑤の(1,2,-1)のどちらかが答えの候補である。しかしながら、⑤の平面上の点とされる（5,3,5)は平面上にはないことから、⑤は候補から外れる。従って、答えは②ということになる。

検算すると、　2(x-4)＋4(y-1)-2(z-6)　＝　2(x+2y-z)+(-8-4+12)　=　2(x+2y-z)　=　0

従って、②が答えとなる。



（別解）

参考となる解法をWebで探し、次いでその方法で本出題の問題を解いた。


参考とした情報　空間ベクトルで点から下した垂線と平面との交点を求める方法（以下にその解法を引用した）











ここからが本問題の解法である。問題文に与えられている点Aは上の例題と合わせるために点Cとした、

平面 S:x+2y-z=0上の点を、例題を参考に３点選んだ。O(0,0,0)、A(1,0,1)、B(0,1,2)である。
　※　点O、A、Bの座標は平面Sの式を満足すれば任意に選ぶことができる。
点Hが求める平面S上の点であるとする。
　OH=ｓOA+ｔOB=s(1,0,1)+t(0,1,2)=(s,t,s+2t)
　CH=OH-OC=(s,t,s+2t)-(6,5,4)=(s-6,t-5,s+2t-4)
ベクトルの直交より内積=0を計算する。
OA・CH=0
　(1,0,1)(s-6,t-5,s+2t-4)=2s+2t-10=0
OB・CH=0
　(0,1,2)(s-6,t-5,s+2t-4)=2s+5t-13=0
この両式より
　s=4,t=1
従って、求める平面上の点Hの座標は、原点Oから見て
　OH=(4,1,6)　となり、答えは②である。




Ⅰ－３－３　有限要素法の計算条件と精度　　サービス問題　　有限要素法は頻出問題です。次の過去問を参照ください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　有限要素法の基本、要素内内挿、トラスモデル、面積座標、振動解析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最近の出題としては、Ｈ２９　Ⅰ－３－３があります。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本門は有限要素法とは何かという初歩的な理解で解ける問題です。

解答：⑤

収束判定条件を緩和する（甘くする）と、本来得られるべき答えとは離れた値を与える可能性があるので、間違いである。


Ⅰ－３－４　シンプソンの１／３数値積分公式　　

解答：⑤

シンプソンの公式は次の通りである。


今の題意に沿う形は次の通りであり、y0およびy2が区間の両端における値、y1が区間の中点における値である。


S=1/3×（1/2＋4/3＋1/4）＝0.694　となり、答えは⑤となる。

別法として、苦し紛れに台形の面積を足し算していく方法もある。
x=-1のときy=0.500.x=-0.5のときy=0.400、x=0のときy=0.333、x=0.5のときy=0.286、x=1のときy=0.250
上の1/3数値積分からはずれるが、台形面積の足し合わせを行うと、
S=0.5×（1/2×0.500＋0.400＋0.333＋0.286＋1/2×0.250）＝0.697　　となる。
この値は、グラフの形状を考えると少し大きめに出ている。




Ⅰ－３－５　固有振動数と固有振動モード　　

解答：④

①誤り　　　形状によっても変わってくるでしょう。
②誤り　　　管端が閉じている、空いているで気柱の振動数に変化が生じる。
③誤り　　　固有振動数ω＝√（g/L)であるので、重りの質量には関係ない。
④正しい　そのとおりである。参考として熱伝導方程式の導出。
⑤誤り　　　論文平板 の 振 動モ ー ドの 縮 退 と連 成挙 動 につ いてには図に示すいりいろな振動モードが示されています。



固有振動数（Wikipedia)には、単振り子、弦、気柱の固有振動が示されています。




Ⅰ－３－６　平面上の楕円孔が受ける応力　　Ｈ２３　１－３－２に同じ問題あり。

解答：②　　今回の正答番号

Ｈ２３年　１－３－２

正答：　①　Ｈ２３年の正答番号

わからなくても仕方がない問題。自信がなかったら勇気をもってパスしよう。

（解答）

楕円孔の応力集中の問題である。応力集中（Wikipedia）に、最大応力は　ｘ＝ａ　の位置で発生し、応力集中係数Ｋｔは

　　　　Ｋｔ＝１＋２ａ／ｂ

となるとある。
ａ＞ｂ　であるので、σ_ｘ＝０、τ_ｘｙ＝０、σ_ｙ＝Ｋｔσであるから　σ_ｙ＞３σ


（参考）

応力集中（Wikipedia）

楕円孔の応力集中

遠方から長軸に垂直な一様引張応力を受ける無限板に存在する楕円孔について、最大応力を含む線上での応力分布は次式で与えられる^[11]。

ここで

σ_y：楕円孔長軸(x軸)上の垂直応力

σ₀：遠方引張応力

a：楕円孔長辺

b：楕円孔短辺

x：楕円孔長軸(x軸)上の楕円孔中心からの距離

最大応力は上式でx = a(楕円孔長辺縁)の位置で発生し、この点で応力集中係数は次のようになる。

Ｋｔ＝１＋２ａ／ｂ

あるいはx = aの点における曲率半径を用いて次のようにも表される。

Ｋｔ＝１＋２√（ａ／ρ）、ρ＝ｂ^２／ａ

楕円孔は、b → 0とすればき裂（グリフィスき裂）の問題となり、また、等価楕円の概念を利用して任意形状の切欠きの応力集中系数を近似できる場合があるなど、他の問題への応用の広がりが大きい。

• ジュラルミン
  • 銅 - 約4%
  • マグネシウム - 0.5%
  • マンガン - 0.5%
• 超ジュラルミン
  • 銅 - 4.5%
  • マグネシウム - 1.5%
• 超々ジュラルミン
  • 亜鉛 - 5.5%
  • マグネシウム - 2.5%
  • 銅 - 1.6%

　この問題は知識がなくては解答できない。自信がなければ避けて通るべき問題である。

設問①　正答であるので、この内容は正しい。

設問②　成功年が誤っています。

　1979年には組換え医薬品第1号として、米国ジェネンテック社の研究者が世界で最初に大腸菌で生産させたヒト型インスリンが登場します。（バイオ技術で薬を作る） 

設問③　陰極に向かってではなく陽極に向かってです。

　緩衝液などに核酸(DNA/RNA)を溶解すると、リン酸残基によりマイナスに荷電します。この溶液（DNA 試料） をアガロースゲルに添加し、緩衝液中で電気泳動を行なうと＋側（陽極） に移動します。（アガロースゲル電気泳動）

 設問④　制限酵素はＤＮＡの認識部位が決まっているので、生じるＤＮＡ長さは

　　　　　　同じ長さになるとは限らない。

設問⑤　「臓器や組織におけるDNAの偏在はない？」との設問です

　受精すると、父親と母親から由来の遺伝子が交差して、新たな遺伝子が作り出される。この遺伝子が分化を繰り返し、一個体を作り上げる。最初の１つのDNAがコピーを繰り返して一個体を作り上げるため、体のどの部分をとっても最初のDNAと全く同じDNAが存在していることになる。ただし、そのDNAから器官（肝臓など）が作られるときにはそれに必要な遺伝子機能のみが活性化し、不要な部分は不活性とされる。（興味ある方はｉＰＳ細胞も参考としてください）

　下の図から、ゲノムライブラリーはDNA全体から切り出された部分であり、ｃDNAライブラリーは器官の発現に利用されたDNA部分に由来していることが分かる。従って、この設問の内容は誤りである。

　なお、ｃDNAとは相補的DNAのことである。

リスク評価（リスク管理Navi）より

　リスク評価とは、リスクアセスメントを構成する3つのプロセスのうちの一つです。3つのプロセスとは、リスク特定（リスクの洗い出し）、リスク分析（リスクの大きさの算定）、そしてこのリスク評価です。

リスク・コミュニケーション（Wikipedia)

リスクコミュニケーション (Risk Communication) とは社会を取り巻くリスクに関する正確な情報を、行政、専門家、企業、市民などのステークホルダーである関係主体間で共有し、相互に意思疎通を図ることをいう。合意形成のひとつ。

リスクコミュニケーションが必要とされる場面とは、主に災害や環境問題、原子力施設に対する住民理解の醸成などといった一定のリスクが伴い、なおかつ関係者間での意識共有が必要とされる問題につき、安全対策に対する認識や協力関係の共有を図ることが必要とされる場合である。

レギュラトリーサイエンスとは（日本薬学会）

レギュラトリーサイエンスとは我々の身の回りの物質や現象について、その成因や機構、量的と質的な実態、および有効性や有害性の影響をより的確に知るための方法を編み出し、その成果を用いてそれぞれの有効性と安全性を予測・評価し、行政を通じて国民の健康に資する科学です。

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